[ Pobierz całość w formacie PDF ]
wiążącego prędkość z energią:
� �v2
T = , (6.44)
2
stąd:
�
2 T
v = . (6.45)
�
Musimy zatem wyznaczyć wartość średnią energii kinetycznej elektronu w stanie podstawowym:
2 2
�
T = - " = - �" "�100d3r =
100
2� 2�
2� � "
2
3
Zr Zr
1 Z 1 d d
a0 a0
= - d� sin �d� r2dre- r2 e- =
2� � a0 0 0 r2 dr dr
(6.46)
"
2 2
4 4
2Zr
2 Z Z 2 Z a0 2 Z a0 3
a0
= 2r - r2 e- = 2 - 2 =
� a0 0 a0 � a0 2Z a0 2Z
2 2
4
2 Z a0 2 Z2
= = .
� a0 2Z 2�a2
Stąd:
2
2 Z2 Z
v = = (6.47)
� 2�a2 �a0
W zredukowanych jednostkach atomowych = 1, � = 1, a0 = 1, czyli:
v = Z (6.48)
Musimy pamiętać, że w zredukowanych jednostkach atomowych prędkość światła c wynosi w przybliżeniu
137, zatem dla jonów wodoropodobnych o dużym ładunku jądra średnia prędkość elektronu w stanie
�100 jest bliska prędkości światła i nie możemy zaniedbywać efektów relatywistycznych. W szczególności
otrzymany właśnie wzór na średnią prędkość ulegnie modyfikacji. Jednym z najpopularniejszych efektów
relatywistycznych jest kolor złota, które gdyby świat rządził się mechaniką nierelatywistyczną miałoby
kolor srebrny.
Zadanie 35 Sprawdzić słuszność twierdzenia wirialnego dla stanu podstawowego jonu wodoropodobnego.
Rozwiązanie 35 Z twierdzenia wirialnego wynika, że:
� 1 �
T = - V . (6.49)
2
�
Wartość oczekiwaną energii kinetycznej mamy już obliczoną, pozostaje V .
2� � "
2Zr
-Ze2 1 Z3 Ze2 "
� a0
V = d� sin �d� r2dr�" �100 = -4� re- dr =
100
4� r � a3 4� 0 0
0 0 0 0
(6.50)
Z4e2 a2 Z2e2
= -4 = -
4� a3 4Z2 4� a0
0 0
Korzystając ze wzoru 6.21 możemy nasz wynik przepisać w postaci:
Z2e2 2 Z2 2
�
V = - = - . (6.51)
a0 a0�e2 �a2
50
Porównując ten wynik z wynikiem poprzedniego zadania możemy stwierdzić, że istotnie spełniona jest
równość:
� 1 �
T = - V . (6.52)
2
Można to przepisać również w postaci:
� 1 �
E = - T = V . (6.53)
2
Zadanie 36 Obliczyć z ową składową momentu dipolowego �z atomu wodoru, w którym elektron opisany
jest unormowaną funkcją falową:
1
"
� = (�200 - �210) . (6.54)
2
Rozwiązanie 36 Składowa z momentu pędu dana jest wzorem:
�z = -e �|z|� . (6.55)
Podstawiając postać funkcji � otrzymujemy
1
�z = -e �200|z|�200 + �210|z|�210 - �200|z|�210 - �210|z|�200 . (6.56)
2
Całki �200|z|�200 i �210|z|�210 znikają ze względu na symetrię funkcji falowej. Pozostaje tylko do
obliczenia całka:
4
1 Z Zr
0 0
�210|z|�200 = �210z�200d3r = 2 - e-Zr/2a zr cos �e-Zr/2a d3r . (6.57)
32� a0 a0
Podstawiamy z = r cos �:
4
" � 2�
1 Z Zr
�210|z|�200 = r2dr sin �d� d� 2 - r2 cos2 �e-Zr/a . (6.58)
32� a0 0 a0
0 0
Całkowanie po � daje 2�. W całce po � dokonujemy zamiany zmiennych x = cos �, , dx = - sin � i
dostajemy całkę
+1
2
x2dx = , (6.59)
3
-1
zatem
"
1 Z
�210|z|�200 = 2r4 - r5 e-Zr/a dr . (6.60)
48 a0
Korzystamy ze wzoru 6.38
4
1 Z a5 Z a6 3 � 4! a0 3 a0
0 0
�210|z|�200 = 2 � 4! - 5! = - = - (6.61)
48 a0 Z5 a0 Z6 48 Z 2 Z
"
Korzystając z tego, że �200|z|�210 = �210|z|�200 , dostajemy
3a0e
�z = - . (6.62)
Z
Dla atomu wodoru Z = 1, czyli
�z = -3a0e . (6.63)
51
6.3 Powłoki i podpowłoki
Funkcje falowe �nlm będące rozwiązaniami równania Schr�dingera dla atomu wodoru nazywamy orbita-
lami. Wszystkie orbitale o takiej samej głównej liczbie kwantowej tworzą powłokę. Kolejne powłoki
1
oznacza się wielkimi literami alfabetu zaczynając od K :
n = 1 2 3 4 ...
K L M N ...
Powłoka odpowiadająca głównej liczbie kwantowej n składa się z n podpowłok różniących się wartością
pobocznej liczby kwantowej l. Podpowłoki oznacza się małymi literami2:
l = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ...
s p d f g h i k l ...
Wreszcie każda podpowłoka o danym l jest (2l+1) krotnie zdegenerowana ze względu na magnetyczną
liczbę kwantową m = -l, ..., l, czyli składa się z 2l + 1 orbitali.
Orbitale s
Orbitale o zerowym momencie pędu (l = 0), czyli funkcje �n00: 1s = �100, 2s = �200, 3s = �300,
etc. Orbitale s są sferycznie symetryczne i mają maksimum na jądrze, co oznacza, że największa gęstość
p-stwa znalezienia elektronu opisywanego takim orbitalem jest na jądrze. Orbital 1s nie posiada węzłów,
a w ogólności orbital ns posiada (n-1) węzłów.
Orbital 1s Orbital 2s
s 2s
r
r
Orbitale p
Funkcje falowe o l = 1, czyli �n1m. Dla każdej wartości n = 2, 3, 4, ... mamy trzy orbitale p: np+1 = �n11,
np0 = �n10, np-1 = �n1-1. Zaletą orbitali np+1, np0, np-1 jest fakt, że są one funkcjami własnymi
operatora rzutu momentu pędu. Są to jednak funkcje zespolone, dlatego często używa się takich ich
kombinacji linowych, które są funkcjami rzeczywistymi:
pz = p0 = zf(r)
1
"
px = p+1 - p-1 = xf(r)
(6.64)
2
i
py = " p+1 + p-1 = yf(r)
2
�
Należy pamiętać, że npx i npy nie są funkcjami własnymi operatora Lz. Wszystkie orbitale p znikają na
jądrze (mają tam węzeł), co oznacza, że gęstość p-stwa znalezienia na jądrze elektronu opisywanego takim
orbitalem jest zerowa.
1
Charles Glover Barkla brytyjski fizyk badając na początku XX wieku rozpraszanie promieni X przez materią, od-
krył, że promieniowanie rozproszone zawiera składową właściwą dla każdego pierwiastka. W tym tzw.. promieniowaniu
charakterystycznym zaobserwował dwie serie linii widmowych, które oznaczył literami A i B. Pózniej (w 1911r.) zmienił te
oznaczenia na K i L, argumentując, że być może istnieją również inne serie, zarówno o większej jak i o mniejszej energii.
W 1913 roku, po ogłoszeniu przez Nielsa Bohra kwantowego modelu atomu wodoru, serie K i L znalazły swoje teoretyczne
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
