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√que
3
1
c2z + a2 - a
a2 + c2 = 0,
4
2
3
1
c2z + a2 + a
a2 + c2 = 0,
4
2
51
1
3
q
1
p est
a2, et
est
a a2 + c2, d’où on connoît
2
4
2y
2
√
car y est
a2 +
que la valeur de z est
1
c2, et + y2+
2
1
1
a2 + c2 +
2
4
1
1
a2 + c2 +
2
4
1
Et pourceque nous avions fait ci-dessus z +
a = x, nous apprenons que la
2
quantité x, pour la connoissance de laquelle nous avons fait toutes ces opérations,
est
1
1
1
1
+ +
a2 + c2 -
c2 -
2
4
4
4
Mais afin qu’on puisse mieux connoître l’utilité de cette règle il faut que je
l’applique à quelque problème.
Si le carré A D (fig. 26) et la ligne B N étant donnés, il faut prolonger le
côté A C jusques à E, en sorte que E F , tirée de E vers B, soit égale à N B :
on apprend de Pappus, qu’ayant premièrement prolongé B D jusques à G, en
Fig. 26.
sorte que D G soit égale à D N, et ayant décrit un cercle dont le diamètre soit
B G, si on prolonge la ligne droite A C, elle rencontrera la circonférence de ce
cercle au point E qu’on demandoit. Mais pour ceux qui ne sauroient point cette
construction, elle seroit assez difficile à rencontrer ; et, en la cherchant par la
méthode ici proposée, ils ne s’aviseroient jamais de prendre DG pour la quantité
inconnue, mais plutôt C F ou F D, à cause que ce sont elles qui conduisent le
plus aisément à l’équation ; et lors ils en trouveroient une qui ne seroit pas facile
à démêler sans la règle que je viens d’expliquer. Car posant a pour B D ou C D,
et c pour E F , et x pour D F , on a C F = a - x, et comme C F ou a - x est à
cx
F E ou c, ainsi F D ou x est à B F , qui par conséquent est
. Puis à cause
a - x
du triangle rectangle B D F dont les côtés sont l’un x et l’autre a, leurs carrés,
c2x2
qui sont x2 + a2, sont égaux à celui de la base, qui est
; de façon
x2 - 2ax + a2
que, multipliant le tout par x - 2ax + a2, on trouve que l’équation est
x4 - 2ax3 + 2a2x2 - 2a3x + a4 = c2x2,
52
Exemple de
l’usage de ces
réductions.
√
1
2
ou bien
1
2
a2 + c2 +
-
a2 + c2 -
-
a
a2 + c2,
a
a2 + c2.
1
2
1
2
1
1
a2 + a
a2 + c2.
2
2
ou bien
x4 - 2ax3 + (2a2 - c2)x2 - 2a3x + a4 = 0;
et on connoît par les règles précédentes que sa racine, qui est la longueur de la
ligne D F , est
1
1
1
1
a +
a2 + c2 -
c2 -
2
4
4
4
1
a2 +
2
a
a2 + c2.
1
2
Que si on posoit BF , ou C E, ou BE, pour la quantité inconnue, on viendroit
derechef à une équation en laquelle il y auroit quatre dimensions, mais qui seroit
plus aisée à démêler, et on y viendroit assez aisément ; au lieu que si c’étoit
D G qu’on supposât, on viendroit beaucoup plus difficilement à l’équation, mais
aussi elle seroit très simple. Ce que je mets ici pour vous avertir que, lorsque le
problème proposé n’est point solide, si en le cherchant par un chemin on vient à
une équation fort composée, on peut ordinairement venir à une plus simple en
le cherchant par un autre.
vont au cube ou au carré de carré, mais elles seroient superflues ; car lorsque les
problèmes sont plans on en peut toujours trouver la construction par celles-ci.
au sursolide, ou au carré de cube, ou au-delà, mais j’aime mieux les comprendre
toutes en une, et dire en général que, lorsqu’on a tâché de les réduire à même
forme que celles d’autant de dimensions qui viennent de la multiplication de deux
autres qui en ont moins, et qu’ayant dénombré tous les moyens par lesquels cette
multiplication est possible, la chose n’a pu succéder par aucun, on doit s’assurer
qu’elles ne sauroient être réduites à de plus simples ; en sorte que si la quantité
inconnue a trois ou quatre dimensions, le problème pour lequel on la cherche
est solide, et si elle en a cinq ou six, il est d’un degré plus composé, et ainsi des
autres.
Au reste, j’ai omis ici les démonstrations de la plupart de ce que j’ai dit,
à cause qu’elles m’ont semblé si faciles que, pourvu que vous preniez la peine
d’examiner méthodiquement si j’ai failli, elles se présenteront à vous d’elles-
mêmes ; et il sera plus utile de les apprendre en cette façon qu’en les lisant.
Or, quand on est assuré que le problème proposé est solide, soit que l’équa-
Façon générale
Je pourrois encore ajouter diverses règles pour démêler les équations qui
Je pourrois aussi en ajouter d’autres pour les équations qui montent jusques
Règle générale
pour réduire les
équations qui
passent le carré de
carré.
pour construire
tous les problèmes
solides réduits à
une équation de
tion par laquelle on le cherche monte au carré de carré, soit qu’elle ne monte que
jusques au cube, on peut toujours en trouver la racine par l’une des trois sections
coniques, laquelle que ce soit, ou même par quelque partie de l’une d’elles, tant
cercles. Mais je me contenterai ici de donner une règle générale pour les trouver
toutes par le moyen d’une parabole, à cause qu’elle est en quelque façon la plus
simple.
Premièrement, il faut ôter le second terme de l’équation proposée, s’il n’est
déjà nul, et ainsi la réduire à telle forme
z3 = . . . apz . . . a2q,
53
petite qu’elle puisse être, en ne se servant au reste que de lignes droites et de
trois ou quatre
dimensions.
si la quantité inconnue n’a que trois dimensions ; ou bien à telle
z4 = . . . apz2 . . . a2qz . . . a3r,
si elle en a quatre ; ou bien, en prenant a pour l’unité, à telle
z3 = . . . pz . . . q,
et à telle
z4 = . . . pz2 . . . qz . . . r.
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